Question

【题目】数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．

(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

Answer 1

【答案】(1)(2)详见解析

【解析】

(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝.

由此猜想(n∈N*)．

(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．

②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即，

那么n＝k＋1(k≥1且k∈N*)时，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak

＝2＋ak－ak＋1.∴2ak＋1＝2＋ak＝2＋＝.

∴ak＋1＝，由①②可知，对n∈N*，都成立．