Question

已知f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间[-1，3]内，方程f（x）=kx+k+1（k∈R，且k≠1）有4个零点，则k取值范围是

（-

1

3

，0）

．

Answer 1

分析：在同一坐标系内作出y=f（x）图象和动直线l：y=kx+k+1，观察直线l可得：当已知方程有4个零点时直线l的活动范围应该在图中两条虚线之间，从而通过求直线斜率得到k取值范围．

解答：解：∵偶函数f（x）当x∈[0，1]时，f（x）=x，
∴当x∈[-1，0]时图象与x∈[0，1]时关于y轴对称，
故x∈[-1，0]时f（x）=-x，
又∵f（x）是以2为周期的函数，
∴将函数f（x）在[-1，1]上的图象向左和向右平移2的整数倍个单位，可得f（x）在R上的图象．
∵直线l：y=kx+k+1经过定点（-1，1），斜率为k
∴直线l的图象是经过定点（-1，1）的动直线．（如右图）
在同一坐标系内作出y=f（x）和动直线l：y=kx+k+1，当它们有4个公共点时，
方程f（x）=kx+k+1（k∈R，且k≠1）有4个零点，
∴直线l的活动范围应该介于两条虚线之间，
而两条虚线的斜率k₁=0，k₂=

1-0

-1-2

=-

1

3

，故直线l的斜率k∈（-

1

3

，0）
故答案为：（-

1

3

，0）

点评：本题给出已知函数图象与动直线有4个公共点，求斜率k的取值范围，着重考查了函数的周期性、奇偶性和直线的斜率等知识点，属于中档题．