Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{|x+2|+|6-x|-m}$的定义域为R．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若实数m的最大值为n，正数a，b满足$\frac{8}{3a+b}+\frac{2}{a+2b}$=n，求4a+3b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函数定义域为R，可得|x+2|+|6-x|≥m恒成立，设函数g（x）=||x+2|+|6-x||，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；
（2）由（1）知n=8，变形，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）因为函数f（x）的定义域为R．
所以|x+2|+|6-x|≥m恒成立；
设g（x）=|x+2|+|6-x|，则g（x）_min≥m．
又|x+2|+|6-x|≥|（x+2）+（6-x）|=8，
当且仅当-2≤x≤6时，g（x）_min=8
所以m≤8．   
（2）有（1）可知，n=8，
∴$\frac{8}{3a+b}+\frac{2}{a+2b}=8$，
即$\frac{4}{3a+b}+\frac{1}{a+2b}=4$，有由于a，b均为正数，
所以4a+3b=$\frac{1}{4}$（4a+3b）•（$\frac{4}{3a+b}$+$\frac{1}{a+2b}$），
=$\frac{1}{4}$[（3a+b）+（a+2b）]•（$\frac{4}{3a+b}$+$\frac{1}{a+2b}$），
=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{4（a+2b）}{3a+b}$+$\frac{3a+b}{a+2b}$]≥$\frac{1}{4}$（5+4）=$\frac{9}{4}$，
当且2（a+2b）=3a+b，即$a=3b=\frac{9}{20}$时，上式等号成立．
所以4a+3b的最小值是$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．