Question

已知函数．
（1）若x∈R，求函数f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最小值及此时x的值；
（3）若，，求sin2x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+），令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到f（x）的单调增区间．
（2）根据x的范围可得2x+∈，由此求得函数f（x）的最小值以及此时x的值．
（3）由条件求得sin（2x+）=．再根据（2x+）为钝角可得cos（2x+）=-，由sin2x₀ =sin[（2x+）-]，利用两角差的正弦公式求得结果．
解答：解：（1）∵函数=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．
故函数f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
（2）∵x∈，∴2x+∈，故当2x+=，即x=时，函数f（x）取得最小值为-1．
（3）若，，则有2sin（2x+）=，sin（2x+）=．
再由（2x+）为钝角可得cos（2x+）=-，
∴sin2x₀ =sin[（2x+）-]=sin（2x+）cos-cos（2x+）sin==．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调区间的求法，正弦函数的定义域和值域，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．