Question

8．若关于x的不等式ax²+3x-1＜0的解集是$（{-∞，\frac{1}{2}}）∪（{1，+∞}）$，
（1）求a的值；
（2）求不等式ax²-3x+a²+1＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）由题意可知，1，$\frac{1}{2}$是方程ax²+3x-1的两根，通过韦达定理可求出a的值；
（2）将（1）中的a代入不等式ax²-3x+a2+1＞0，解这个一元二次不等式即可；
（注意二次项系数小于0要变形求解）

解答 解：（1）∵不等式ax²+3x-1＜0的解集是$（{-∞，\frac{1}{2}}）∪（{1，+∞}）$，
∴方程ax²+3x-1=0的两个实数根为$\frac{1}{2}$和1，
∴$\frac{1}{2}$+1=-$\frac{3}{a}$且$\frac{1}{2}$×1=-$\frac{1}{a}$，
解得a=-2，
∴a的值为-2；
（2）a=-2时，不等式ax²-3x+a²+1＞0化为
-2x²-3x+5＞0，
即2x²+3x-5＜0，
∵方程2x²+3x-5=0的两根为x₁=1，x₂=-$\frac{5}{2}$，
∴不等式ax²-3x+a²+1＞0的解集为{x|-$\frac{5}{2}$＜x＜1}．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了根与系数关系的应用问题，是基础题目．