Question

设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.

（1）数表如表1所示，若经过两“操”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1

1	2	3
	1	0	1

（2）数表如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；表2

（3）对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）详见解析；（2），；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）改变行或列；（2）分两种情况考虑：①首先操作第三列，②首先操作第一行；（3）在有限次之后终止. 终止之时，必是所有的行之和与所有的列之和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，就又会继续上升，导致矛盾.

试题解析：（1）解：法1：

法2：

法3：

（2）每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1；

①如果首先操作第三列，则有

则第一行之和为，第二行之和为，

这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，

所以或，

当时，则接下只能操作第一行，

此时每列之和分别为，

必有，解得，

当时，则接下操作第二行，

此时第4列之和为负，不符合题意.    

②如果首先操作第一行，则有

则每一列之和分别为，，，，

当时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉，

当时，，至少有一个为负数，

所以此时必须有，即，所以或，

经检验，或符合要求，

综上：.

（3）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行之和与所有的列之和均为非负实数. 证明如下：

记数表中第行第列的实数为（），各行的数字之和分别为，各列的数字之和分别为，，，数表中个实数之和为，则.记

.

按要求操作一次时，使该行的行之和（或该列的列之和）由负变正，都会引起（和）增大，从而也就使得增加，增加的幅度大于等于，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止. 终止之时，必是所有的行之和与所有的列之和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立. 

考点：新定义题型，数表问题.