【题目】△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a≠b,c= ,且bsinB﹣asinA= acosA﹣ bcosB.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若△ABC的面积为 ,求a与b的值.
【答案】解:(Ⅰ)△ABC中,∵bsinB﹣asinA= acosA﹣ bcosB, ∴sinBsinB﹣sinAsinA= sinAcosA﹣ sinBcosB,
∴ ﹣ = sin2A﹣ sin2B,
整理得 sin2A﹣cos2A= sin2B﹣cos2B,
即2sin(2A﹣ )=2sin(2B﹣ );
又a≠b,∴(2A﹣ )+(2B﹣ )=π,
解得A+B= ,
∴C=π﹣(A+B)= ;
(Ⅱ)△ABC的面积为:
absinC= absin = ab= ,
解得ab=6①;
由余弦定理,得
c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣2×6cos =a2+b2﹣6=7,
∴a2+b2=13②;
由①②联立,解方程组得:
a=2,b=3或a=3,b=2
【解析】(Ⅰ)根据正弦定理和三角恒等变换,化简等式得出A+B的值,从而求出C的值;(Ⅱ)根据三角形的面积公式和余弦定理,列出关于a、b的方程组,求出a、b的值.
【考点精析】利用正弦定理的定义和余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案,需要熟知正弦定理:;余弦定理:;;.
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【题目】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2acosC=bcosC+ccosB.
(1)求角C的大小;
(2)若c=,a2+b2=10,求△ABC的面积.
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【题目】在平面直角坐标系中,不等式组 (r为常数)表示的平面区域的面积为π,若x,y满足上述约束条件,则z= 的最小值为( )
A.﹣1
B.﹣
C.
D.﹣
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的离心率为,且过点,过椭圆的左顶点A作直线轴,点M为直线上的动点,点B为椭圆右顶点,直线BM交椭圆C于P
(1)求椭圆C的方程;
(2)求证:;
(3)试问是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.
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【题目】选修4-5:不等式选讲
设函数f(x)=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m.
(1)作出函数f(x)的图象;
(2)若a2+2c2+3b2=m,求ab+2bc的最大值.
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【题目】已知椭圆C; =1(a>b>c)的左、右焦点分别为F1(﹣c,0)、F2(c,0),过原点O的直线(与x轴不重合)与椭圆C相交于D、Q两点,且|DF1|+|QF1|=4,P为椭圆C上的动点,△PF1F2的面积的最大值为 .
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两点,设点N(﹣4,0),连接NA与椭圆C相交于点E,直线BE与x轴相交于点M,试求 的值.
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【题目】设A,B分别为双曲线 (a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使,求t的值及点D的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,设椭圆 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 右顶点为A,上顶点为B,离心率为e.椭圆上一点C满足:C在x轴上方,且CF1⊥x轴.
(1)若OC∥AB,求e的值;
(2)连结CF2并延长交椭圆于另一点D若 ≤e≤ ,求 的取值范围.
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