Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁=1，点（n，S_n）在曲线C上，C和直线x-y+1=0交于A，B两点，|AB|=

6

，那么这个数列的通项公式是（　　）

A．a_n=2n-1

B．a_n=3n-2

C．a_n=4n-3

D．a_n=5n-4

Answer 1

分析：根据等差数列的性质，可以设出s_n=an²+bn，因为其点（1，1），求出a与b的关系，联立直线与曲线C的方程可得一个方程，与A，B点横坐标与方程系数的关系，根据，|AB|=

6

，求出a的值，求出S_n，可以求出这个数列的通项公式a_n；

解答：解：等差数列{a_n}的前n项和为S_n，
不妨设s_n=an²+bn，A，B两点横坐标为x₁，x₂，
过点（1，1），
所以1=a+b，曲线C应为y=ax²+（1-a）x…①
直线：x-y+1=0…②交于A，B两点，|AB|=

6

，
联立①②可得，ax²-ax-1=0，
x₁+x₂=1，x₁，•x₂=-

1

a

，
因为|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

1-4× -1 a

=

6

，
∴a=2，b=-1，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2n²-n-（-2n²-5n+3）=4n-3，
当n=1，可得s₁=1，
这个数列的通项公式：a_n=4n-3；
故选C；

点评：此题主要考查数列与解析几何的综合，是一道综合题，难度比较大，计算量比较大，思路比较清晰，考查的知识点比较全面，此题是一道好题；