Question

【题目】已知抛物线的焦点为，圆：与轴的一个交点为，圆的圆心为，为等边三角形.

求抛物线的方程；

设圆与抛物线交于两点，点为抛物线上介于两点之间的一点，设抛物线在点处的切线与圆交于两点，在圆上是否存在点，使得直线均为抛物线的切线，若存在求出点坐标（用表示）；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】；存在,.

【解析】

(1)由题意，从而求得抛物线方程；

（2）设，可设出切线方程及，并设出过点的直线

与抛物线相切，从而联立抛物线知，同理，可表示过点N的切线，从而计算两直线相交的交点，于是可得答案.

是等边三角形，

原点为中点，半径

圆，半径，抛物线

设，过点作抛物线的两条切线（异于直线）交于点，并设切线，

由替换法则，抛物线在点处的切线方程为

即记①

设过点的直线与抛物线相切，代入抛物线方程得

，即

根据韦达定理，

由①可得， ②

同理可得，

切线③

④

联立与圆可得，

韦达定理可得

，

联立③、④并代入可求得，代入③可求得 .

所以

即切线的交点在圆上，故存在圆上一点满足均为抛物线的切线.