Question

设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，点A（0，a），B（-b，0），C（0，-a），原点O到直线AB的距离为，点P在椭圆M上（与A，C均不重合），点D在直线PC上，若直线PA的方程为x=my-4，且•=0．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求直线BD的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由e²===1-=，得a=b（2分）
由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为+=1，即l_AB：4x-3y+4b=0
又原点O到直线AB的距离==，∴b=3，（4分）
∴b²=9，a²=16
从而椭圆M的方程为：．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（0，4），B（-3，0），而直线l_PA：x=my-4，∴4m-4=0，?m=1，
即l_PA：x-y+4=0，（6分）
设P（x₀，y₀），则，∴x₀²==（16-y₀²）
k_PC•k_PA=×===-
∴k_PC=-=--，（9分）
∵•=0，∴k_PCk_BD=-1，即k_BD=-=，（11分）
又B（-3，0），∴直线BD的方程为y=（x+3）即9x-16y+27=0（12分）
注：本问也可先求出P点坐标，再求直线方程．
分析：（Ⅰ）由e²===1-=，得a=b．由点A（0，a），B（-b，0），知直线AB的方程为4x-3y+4b=0，由原点O到直线AB的距离==，知b=3，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由A（0，4），B（-3，0），直线l_PA：x=my-4，知m=1，即l_PA：x-y+4=0，设P（x₀，y₀），则x₀²==（16-y₀²），k_PC•k_PA=×===-．由此入手能够求出直线BD的方程．
点评：本题考查椭圆方程和直线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理进行等价转化．