Question

已知函数，其中a∈R．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[2，3]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a=2代入解析式，再求出导数，再求出切线的斜率f′（1）和f（1），代入点斜式方程再化为一般式；
（2）由题意求出导数并配方，对a进行分类：a≤0和a＞0讨论，再a＞0情况下再分类，求出对应的临界点，判断出在[2，3]上的单调性，求出函数的最大值，最后在用分段函数的形式表示出来．
解答：解：（1）当a=2时，，
则f′（x）=2x²-4x，故切线的斜率k=f′（1）=-2，
又∵，∴切线方程为 ，
即6x+3y-5=0．
（2）由题意得f′（x）=2x²-4x+2-a=2（x-1）²-a，
当a≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）在[2，3]上单调递增，
则f（x）_max=f（3）=7-3a，
当a＞0时，令f′（x）=0，得
①当0＜a≤2时，f（x）在[2，3]上单调递增，则f（x）_max=f（3）=7-3a
②当2＜a＜8时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，
比较f（2）与f（3）的大小，令f（2）＞f（3），
＞，
解得，
③当a≥8时，f（x）在[2，3]上单调递减，
综上，
点评：本题考查了导数的几何意义，以及导数与函数的单调性、最值之间的关系，考查了分类讨论思想和做差法比较大小，属于中档题．