如图,四棱锥的底面
为一直角梯形,侧面PAD是等边三角形,其中
,
,平面
底面
,
是
的中点.
(1)求证://平面
;
(2)求与平面BDE所成角的余弦值;
(3)线段PC上是否存在一点M,使得AM⊥平面PBD,如果存在,求出PM的长度;如果不存在,请说明理由。
(1)详见解析;(2)cosCBN=
;(3)不存在点M满足题意.
解析试题分析:(1)证明BE∥平面PAD,只需证明AF∥BE;
(2)过C作DE的垂线,交DE的延长线于N,连接BN,证明∠CBN就是直线BC与平面BDE所成角,从而可求BC与平面BDE所成角的余弦值;
(3)假设PC上存在点M,使得AM⊥平面PBD,则AM⊥PD,可得点M与E重合.取CD中点G,连接EG,AG,则BD⊥AG,证明PD⊥平面BCD,从而PD⊥AD,这与△PAD是等边三角形矛盾.
试题解析:(1)取PD中点F,连接AF, EF
则,
又,
∴
∴
∴四边形ABEF是平行四边形 2分
∴AF∥BE 又平面PAD,
平面PAD
∴//平面 4分
(2)过C作DE的垂线,交DE的延长线于N,连接BN
∵平面底面
,
∴平面
∴AF 又AF⊥PD,
∴AF⊥平面PCD
∴BE⊥平面PCD
∴BE⊥CN,又CN⊥DE,
∴CN⊥平面BDE
∴CBN就是直线与平面BDE所成角 7分
令AD=1,,易求得,
∴sinCBN=
∴cosCBN=
故与平面BDE所成角的余弦值为 9分
(3)假设PC上存在点M,使得AM⊥平面PBD 则AM⊥PD,由(2)AF⊥PD
∴PD⊥平面AFM,又PD⊥平面ABEF
故点M与E重合。 1分
取CD中点G,连接EG,AG
易证BD⊥AG,又BD⊥AE
∴BD⊥平面AEG
∴BD⊥EG
∴BD⊥PD,又PD⊥CD
∴PD⊥平面BCD
从而PD⊥AD,这与⊿PAD是等边三角形矛盾
(另解坐标法)
证明:取AD中点O,连接PO∵侧面PAD是等边三角形 ∴PO⊥AD
又∵平面底面, ∴PO⊥平面ABCD 2分
设,如图建立空间坐标系,则
,,
,. 3分
(1),,
所以,
∵平面,∴平面
. 5分
(2),
设平面的一个法向量为
则 求得平面
的一个法向量为; 7分
, 8分
所以直线与平面所成角的余弦值为。 10分
(3)设存在点M(满足AM⊥平面PBD,则M、P、C三点共线
因为,所以存在实数
,使得
即
11分
∵AM⊥平面PBD ∴ 得
(不合题意)
故在线段上不存在点M满足题意。 14分
考点:(1)空间的位置关系的证明;(2)线面角的求法;(3)向量在立体几何中的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角梯形中,
,
,
,如图,把
沿
翻折,使得平面
平面
.
(1)求证:;
(2)若点为线段
中点,求点
到平面
的距离;
(3)在线段上是否存在点
,使得
与平面
所成角为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形,其中BA⊥AD,CD⊥AD,CD=AD=2AB,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.
(1)求证:BE∥平面PAD;
(2)若BE⊥平面PCD,求平面EBD与平面BDC夹角的余弦值.
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如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.
(1)证明:A1C⊥平面BB1D1D;
(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,连接CE并延长交AD于F.
(1)求证:AD⊥平面CFG;
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,且PA⊥平面ABCD.
(1)求证:PC⊥BD;
(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E,且三棱锥E-BCD的体积取到最大值.
①求此时四棱锥E-ABCD的高;
②求二面角A-DE-B的正弦值的大小.
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