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在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点.
(1)求证:OD∥平面PAC;
(2)求证:PO⊥平面ABC.

【答案】分析:(1)由O,D分别为AB,PB的中点,知OD∥PA,由此能够证明OD∥平面PAC.
(2)连接OC,OP,由,O为AB的中点,AB=2,知OC⊥AB,OC=1.同理,PO⊥AB,PO=1,由此能够证明PO⊥平面PAC.
解答:证明:(1)∵O,D分别为AB,PB的中点,
∴OD∥PA…(3分)
又OD?平面PAC,PA?平面PAC…(5分)
∴OD∥平面PAC.…(6分)
(2)连接OC,OP
,O为AB的中点,AB=2,
∴OC⊥AB,OC=1.…(8分)
同理,PO⊥AB,PO=1.…(10分)
,PC2=OD2+PO2=2,
∴∠POC=90°,PO⊥OC.…(12分)
∵OC∩AB=O,…(13分)
∴PO⊥平面PAC.…(14分)
点评:本题考查直线与平面平行的证明,考查直线与平面垂直的证明.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=
2
PC=
2
AC=
2
BC

(Ⅰ)求证:PA⊥BC; 
(Ⅱ)求二面角P-AB-C所成角的余弦值.

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在三棱锥P-ABC中,AB=3,BC=4,AC=5,PA=1  面PAB⊥面CAB,面PAC⊥面CAB,则三棱锥P-ABC的体积是(  )

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精英家教网在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC.
(1)若∠BAC=
π3
,AB=AC=PA=2,E、F分别为棱AB、PC的中点,求线段EF的长;
(2)求证:“∠PBC=90°”的充要条件是“平面PBC⊥平面PAB”.

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(I)求证:DE∥面PBC;
(II)求证:AB⊥PE;
(III)求三棱锥B-PEC的体积.

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如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.
(1)证明:AD⊥平面PBC;
(2)求三棱锥D-ABC的体积.

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