Question

3．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=2，AD=4，PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD成30°角，E是PD的中点．
（1）点H在AC上且EH⊥AC，求$\overrightarrow{EH}$的坐标；
（2）求AE与平面PCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．得到所用点的坐标，设出H的坐标，结合EH⊥AC即可求得$\overrightarrow{EH}$的坐标；
（2）求出向量$\overrightarrow{AE}、\overrightarrow{PC}、\overrightarrow{PD}$的坐标，进一步求得平面PCD的一个法向量，由$\overrightarrow{AE}$与平面法向量所成角的余弦值可得AE与平面PCD所成角的正弦值，进一步得到余弦值．

解答 解：（1）以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．
则由条件知，A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0）．
由PA⊥底面ABCD，知PD与底面ABCD成30°角．
∴PA=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，则E（0，2，$\frac{2}{\sqrt{3}}$），
∴$\overrightarrow{AC}=（2，2，0）$．
设H（m，m，0），则$\overrightarrow{EH}=（m，m-2，-\frac{2}{\sqrt{3}}）$．
由EH⊥AC得，2m+2（m-2）+0=0，解得m=1．
∴所求$\overrightarrow{EH}=（1，-1，-\frac{2}{\sqrt{3}}）$；
（2）由（1）得，$\overrightarrow{AE}=（0，2，\frac{2}{\sqrt{3}}）$，而P（0，0，$\frac{4}{\sqrt{3}}$），
∴$\overrightarrow{PC}=（2，2，-\frac{4}{\sqrt{3}}）$，$\overrightarrow{PD}=（0，4，-\frac{4}{\sqrt{3}}）$．
记平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，则2x+2y-$\frac{4}{\sqrt{3}}z=0$且4y-$\frac{4}{\sqrt{3}}z=0$．
取z=$\sqrt{3}$，得x=y=1，∴$\overrightarrow{n}=（1，1，\sqrt{3}）$．
则cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2+2}{\sqrt{4+\frac{4}{3}}•\sqrt{2+3}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$．
设AE与平面PCD所成角为θ，则sinθ=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
则所求的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面所称的角，考查了利用空间向量求线面角，正确建立空间右手系是解答该题的关键，是中档题．