【题目】已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R.
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(2)令g(x)=f(x)﹣x2 , 是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解: 在[1,2]上恒成立,
令h(x)=2x2+ax﹣1,
有
得 ,
得
(2)解:假设存在实数a,使g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值3, =
当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, (舍去),
∴g(x)无最小值.
当 时,g(x)在 上单调递减,在 上单调递增
∴ ,a=e2,满足条件.
当 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, (舍去),
∴f(x)无最小值.
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3.
【解析】(1)由函数f(x)在[1,2]上是减函数得 在[1,2]上恒成立,即有h(x)=2x2+ax﹣1≤0成立求解.(2)先假设存在实数a,求导得 = ,a在系数位置对它进行讨论,结合x∈(0,e]分当a≤0时,当 时,当 时三种情况进行.
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【题目】如图,设椭圆的中心为原点,长轴在轴上,上顶点为,左,右焦点分别为,线段的中点分别为,且 是面积为4的直角三角形.
(1)求该椭圆的离心率和标准方程;
(2)过做直线交椭圆于两点,使,求直线的方程.
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【题目】已知椭圆的离心率为,右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点,以为底边作等腰三角形,顶点为.
(1)求椭圆的方程;
(2) 为椭圆上任意一点,若,求的最大值和最小值.
(3)求的面积.
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【题目】已知函数f(x)是R上的偶函数,在(﹣3,﹣2)上为减函数且对x∈R都有f(2﹣x)=f(x),若A,B是钝角三角形ABC的两个锐角,则( )
A.f(sinA)<f(cosB)
B.f(sinA)>f(cosB)
C.f(sinA)=f(cosB)
D.f(sinA)与与f(cosB)的大小关系不确定
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【题目】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时, f(x)=-x+1
(1)求f(0),f(2);
(2)求函数f(x)的解析式;
(3)若f(a-1)<3,求实数a的取值范围.
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【题目】某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:
投资A商品金额(万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
获纯利润(万元) | 0.65 | 1.39 | 1.85 | 2 | 1.84 | 1.40 |
投资B商品金额(万元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
获纯利润(万元) | 0.25 | 0.49 | 0.76 | 1 | 1.26 | 1.51 |
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品,但不知投入A、B两种商品各多少才最合算.请你帮助制定一下资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大利润(结果保留两个有效数字).
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【题目】已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;
(2)若ARB,求实数m的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=loga (其中a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明;
(3)若x∈时,函数f(x)的值域是[0,1],求实数a的值.
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