Question

（2012•日照一模）已知函数f（x）=ax²+1nx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=

1

2

时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）如果在公共定义域D上的函数g（x），f₁（x），f₂（x）满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x）、f₂（x）的“活动函数”，已知函数f1(x)=(a-

1

2

)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=

1

2

x2+2ax，若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x）、f₂（x）的“活动函数”，求实数a的取范围．

Answer 1

分析：（I）当a=

1

2

时，函数f（x）=

1

2

x²+1nx，定义域为（0，+∞），确定f（x）在区间[1，e]上单调增，由此可得结论；
（II）由题意，f1(x)-f(x)=-

1

2

x2+2ax-a2lnx＜0且f2(x)-f(x)=(

1

2

-a)x2+2ax-lnx＞0，在区间（1，+∞）上恒成立，分别确定函数的最小与最大，即可求得a的取值范围．

解答：解：（I）当a=

1

2

时，函数f（x）=

1

2

x²+1nx，定义域为（0，+∞）
求导函数可得f′（x）=x+

1

x

＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数在（0，+∞）上单调增
∴f（x）在区间[1，e]上单调增
∵f（1）=

1

2

，f（e）=

e2

2

+1
∴f（x）在区间[1，e]上的最大值为

e2

2

+1和最小值为

1

2

；
（II）由题意，f1(x)-f(x)=-

1

2

x2+2ax-a2lnx＜0且f2(x)-f(x)=(

1

2

-a)x2+2ax-lnx＞0，在区间（1，+∞）上恒成立
令g(x)=-

1

2

x2+2ax-a2lnx（x＞1），则g′（x）=-

(x-a)2

x

，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调减
∵g（1）=-

1

2

+2a，∴-

1

2

+2a≤0，∴a≤

1

4

；
令h（x）=f₂（x）-f（x）=(

1

2

-a)x2+2ax-lnx，则h′（x）=

(x-1)[(1-2a)x+1]

x

，
又由x∈（1，+∞），且a≤

1

4

，分析易得h′（x）=

(x-1)[(1-2a)x+1]

x

＜0，
即h（x）在（1，+∞）上为减函数，则h（x）_max=h（1），
只要使h（1）≤0即可，即a-

1

2

-2a≤0，解可得，a≥-

1

2

，
综合可得，-

1

2

≤a≤

1

4

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．