Question

【题目】以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是ρ=2，矩形ABCD内接于曲线C1 ， A，B两点的极坐标分别为（2， ）和（2， ），将曲线C1上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线C2 ．
（1）写出C，D的直角坐标及曲线C2的参数方程；
（2）设M为C2上任意一点，求|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C1的极坐标方程是ρ=2，矩形ABCD内接于曲线C1，A，B两点的极坐标分别为（2， ）和（2， ），利用对称性可得：C ，D ，分别化为直角坐标：C ，D ．

曲线C1的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程：x2+y2=4．

设曲线C2．上的任意一点坐标P（x，y），曲线C1的任意一点P′（x′，y′），则 ，可得 ．代入（x′）2+（y′）2=4，得x2+4y2=4，其参数方程为：

（2）解：A ，B ．设M（2cosθ，sinθ）．

|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2= + +（sinθ﹣1）2+ +（sinθ+1）2+ +（sinθ+1）2

=12cos2θ+20∈[20，32]

【解析】（1）利用对称性可得：C ，D ，分别化为直角坐标．曲线C1的极坐标方程是ρ=2，利用互化公式可得直角坐标方程．设曲线C2 ． 上的任意一点坐标P（x，y），曲线C1的任意一点P′（x′，y′），则 ，可得 ．代入圆的方程可得x2+4y2=4，可得参数方程．（2）A ，B ．设M（2cosθ，sinθ）．利用两点之间的距离公式、三角函数的基本关系式及其值域即可得出．