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【题目】已知函数

(Ⅰ)当时,求零点处的切线方程;

(Ⅱ)若有两个零点,求证:

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析

【解析】

(I)先把代入得到,根据零点存在性原理判断函数的零点坐标原点,代入求出切线斜率即可求出切线方程;

(II)先构造一个函数,利用这个函数可得到,从而有,再构造,得到,有,再根据即可证明.

解:(Ⅰ)由题意得:,定义域为

上为减函数.

由零点存在定理可知,上必存在一点使

时,,即上为增函数,

时,,即上为减函数,

极大值

至多有两个零点,又

的两个零点,

易得出两切线方程为:

(Ⅱ)由(Ⅰ)易知

上为增函数,

时,,即上为减函数,

时,,即上为增函数,

,即

的交点横坐标为

为增函数,

同理设

上为增函数,

时,,即上为增函数,

时,,即上为减函数,

,即

的交点横坐标为

为减函数,

故:

得证.

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