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    已知集合对于,定义A与B的差为A与B之间的距离为

   (Ⅰ)证明:,且;

   (Ⅱ)证明:三个数中至少有一个是偶数

   (Ⅲ) 设P,P中有m(m≥2)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为(P).

    证明:(P)≤

 

 

 

【答案】

 

【分析】:这道题目的难点主要出现在读题上,这里简要分析一下。

    题目所给的条件其实包含两个定义,第一个是关于的,其实中的元素就是一个n维的坐标,其中每个坐标值都是0或者1, 也可以这样理解,就是一个n位数字的数组,每个数字都只能是0和1, 第二个定义叫距离,距离定义在两者之间,如果直观理解就是看两个数组有多少位不同,因为只有0和1才能产生一个单位的距离,因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数,然后将处理的结果综合起来,就能看到整体的性质了。

    第一问,因为每个数位上都是0或者1,取差的绝对值仍然是0或者1,符合的要求。然后是减去C的数位,不管减去的是0还是1, 每一个a和每一个b都是同时减去的,因此不影响他们原先的差。

    第二问,先比较A和B有几个不同(因为距离就是不同的有几个),然后比较A和C有几个不同,这两者重复的(就是某一位上A和B不同,A和C不同,那么这一位上B和C就相同)去掉两次(因为在前两次比较中各计算了一次),剩下的就是B和C的不同数目,很容易得到这样的关系式:,从而三者不可能同为奇数。

    第三问,首先理解P中会出现个距离,所以平均距离就是距离总和再除以,而距离的总和仍然可以分解到每个数位上,第一位一共产生了多少个不同,第二位一共产生了多少个不同,如此下去,直到第n位。然后思考,第一位一共m个数,只有0和1会产生一个单位距离,因此只要分开0和1的数目即可,等算出来一切就水到渠成了。

    此外,这个问题需要注意一下数学语言的书写规范。

   证明:(Ⅰ)设

    因为,所以

    从而

    由题意知[来源:Zxxk.Com]

    当时,

    当时,

    所以

   (Ⅱ)设

   

    记由(Ⅱ)可知

   

    所以中1的个数为k,中1的个数为

    设是使成立的的个数。则

    由此可知,三个数不可能都是奇数

    即三个数中至少有一个是偶数。

   (Ⅲ),其中表示P中所有两个元素间距离的总和,设P中所有元素的第个位置的数字中共有个1,个0,

    则

       由于

    所以

    从而

 

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  证明:.

 

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(Ⅰ)证明:,且;

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  证明:.

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