Question

对于定义在集合D上的函数y=f（x），若f（x）在D上具有单调性，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使当x∈[a，b]时，
f（x）的值域是[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]称为f（x）的“等域区间”．
（1）已知函数是[0，+∞）上的正函数，试求f（x）的等域区间．
（2）试探究是否存在实数k，使函数g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函数？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为在[0，+∞）上是增函数，所以当x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，由此能求出f（x）的等域区间．
（2）设存在实数k，使函数g（x）=x²+k是（-∞，0）上为减函数．当x∈[a，b]时，g（x）的值域是[g（a），g（b）]，若函数g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函数，则．由此能够导出存在实数，使函数g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函数．
解答：解：（1）因为在[0，+∞）上是增函数
所以当x∈[a，b]，f（x）的值域是[f（a），f（b）]，
又是[0，+∞）上的正函数
∴，
∴a=0，b=1，
∴f（x）的等域区间为[0，1]．…（4分）
（2）设存在实数k，使函数g（x）=x²+k是（-∞，0）上为减函数．
∴当x∈[a，b]时，g（x）的值域是[g（a），g（b）]，
若函数g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函数，
则，
即，
∵a≠b，∴a+b=-1即b=-a-1，
∵a＜b＜0即…（8分）
∴关于a的方程a²+a+k+1=0在区间内有实根，
由a²+a+k+1=0得k+1=-a²-a…（10分），
∵函数y=-a²-a在上为增函数，
∴当a∈时，…（12分）
∴即
故存在实数使函数g（x）=x²+k是（-∞，0）上的正函数…（14分）
点评：本题考查函数恒成立的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．