Question

奇函数f（x）是定义在R上的增函数，若实数x，y满足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，则x²+y²的取值范围是（ ）
A．（4，6）
B．（16，36）
C．（0，16）
D．（16，25）

Answer 1

【答案】分析：根据f（x）的图象关于点（0，0）对称．推断出函数f（x）为奇函数，根据函数为增函数及f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，可知x²-6x＜-y²+8y-24，化简得（x-3）²+（y-4）²＜1，求x²+y²的范围实际是求点（3，4）为圆心，以1为半径的圆内的点到原点的距离，进而得到答案．
解答：解：∵函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．
∴函数f（x）为奇函数，
∵f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0
∴f（x²-6x）＜-f（y²-8y+24）=f（-y²+8y-24）
∵函数f（x）为增函数
∴x²-6x＜-y²+8y-24
即：（x-3）²+（y-4）²＜1
x²+y²的范围则为以点（3，4）为圆心，以1为半径的圆内的点到原点的距离
∴16＜x²+y²＜36
故答案为：（16，36）
故选B．
点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的综合运用．把x²+y²转化为圆内的点到原点的距离，体现了转化的思想和代数式的几何意义是解题的关键，属中档题．．