Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x³．
（Ⅰ） 若f（x）在（0，1]上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ） 是否存在正整数a，使f（x）的图象的最高点落在直线y=12上？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数在（0，1]上的解析式，再利用f'（x）≥0在x∈（0，1]恒成立可求；（Ⅱ）存在，令f'（x）＞0，即可求出a的取值范围，便可知0＜a≤6不符合题意，当a＞6时[f（x）]_max=f（1）=2a-4-12，即可求出满足题意的a的值．

解答：解：因为当x∈[-1，0]时，f（x）=-2ax+4x³．
所以当x∈（0，1]时，f（x）=f（-x）=2ax-4x³，
∴f(x)=

-2ax+4x3，-1≤x≤0 2ax-4x3，0＜x≤1.

（Ⅰ）由题设f（x）在（0，1]上为增函数，∴f'（x）≥0在x∈（0，1]恒成立，
即2a-12x²≥0对x∈（0，1]恒成立，于是，a≥6x²，从而a≥（6x²）_max=6．
即a的取值范围是[6，+∞）
（Ⅱ）因f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x³在x∈（0，1]的最大值．
令f'（x）=2a-12x²=0，得x=

a 6

．…（8分）
若

a 6

∈（0，1]，即0＜a≤6，则[f(x)]max=f(

a 6

)=2a×

a 6

-4(

a 6

)3＜2a×

a 6

≤12，
故此时不存在符合题意的a；
若

a 6

＞1，即a＞6，则f（x）在（0，1]上为增函数，于是[f（x）]_max=f（1）=2a-4．
令2a-4=12，故a=8．综上，存在a=8满足题设．…（12分）

点评：本题通过函数的知识来切入到导数，考查了利用导数求函数的单调性以及闭区间的最值问题，考查了学生的逻辑思维能力与推理能力，函数及导数的应用是数学的难点，也是高考的热点，属于中档题．