Question

已知函数f（x）=(

1

2

)|x-1|，g（x）=x²-2ax+2，x∈[1，3]，对于?m∈R，均能在区间[1，3]内找到两个不同的n，使f（m）=g（n），则实数a的值是

2

．

Answer 1

分析：由f（x）=(

1

2

)|x-1|=

( 1 2 )x-1，x＞1 1，x=1 ( 1 2 )1-x，x＜1

，作出f（x）的图象，由g（x）=x²-2ax+2是开口向上，对称轴为x=a的抛物线，结合题设条件能求出a的值．

解答：解：∵f（x）=(

1

2

)|x-1|=

( 1 2 )x-1，x＞1 1，x=1 ( 1 2 )1-x，x＜1

，
∴f（x）的图象如图所示：
g（x）=x²-2ax+2是开口向上，对称轴为x=a的抛物线，
∵x∈[1，3]，对于?m∈R，均能在区间[1，3]内找到两个不同的n，使f（m）=g（n），
∴对称轴为x=a=

1+3

2

=2．
所以a=2．
故答案为：2．

点评：本题考查函数恒成立问题的合理运用，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．