Question

据统计某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时每小时的耗油量y（升）与行驶速度y（千米∕时）之间有如下函数关系：y=

1

128000

x3-

3

80

x+8．已知甲、乙两地相距100千米．
（ I）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？
（ II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出汽车从甲地到乙地行驶的时间，即可求得需耗油的升数；
（Ⅱ）当汽车的行驶速度为x千米∕时时，从甲地到乙地需行驶

100

x

小时，列出耗油函数关系式，利用导数可得最值．

解答：解：（Ⅰ）当x=40千米∕时时，汽车从甲地到乙地行驶了

100

40

=2.5（小时），
需耗油(

1

128000

×403-

3

80

×40+8)×2.5=17.5（升）．
所以，汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油17.5升…（4分）．
（Ⅱ）当汽车的行驶速度为x千米∕时时，从甲地到乙地需行驶

100

x

小时．设耗油量为h（x）升，
依题意，得h(x)=(

1

128000

x3-

3

80

x+8)•

100

x

=

1

1280

x2+

800

x

-

15

4

，其中，0＜x≤120．…（7分）即h′(x)=

x

640

-

800

x2

=

x3-803

640x2

（0＜x≤120）．
令 h′（x）=0，得x=80
当x∈（0，80）时，h′（x）＜0，函数单调递减；当x∈（80，120）时，h′（x）＞0，函数单调递增
∴x=80时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升
∴所以当汽车以80千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．…（12分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，属于中档题．