Question

已知函数f（x）=

lnx+a

x

（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正的数列{a_n}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*，求证：an≤2n-1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，求导数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值；
（Ⅱ）分类讨论：①当e^1-a＜e²，即a＞-1时，f（x）在（0，e^1-a）上是增函数，在（e^1-a，e²）上是减函数，可得函数的最值，利用函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，可得实数a的取值范围；
②当e^1-a≥e²，即a≤-1时，f（x）在区间（0，e²]上是增函数，可得函数的最值，利用函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，从而可得结论；
（Ⅲ）先证明lnx≤x-1，从而可证a_n+1=lna_n+a_n+2≤2a_n+1，由此可证结论．

解答：（Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞），求导数f′(x)=

1-(lnx+a)

x2

，
令f′（x）=0得x=e^1-a，
当x∈（0，e^1-a）时，f′（x）＞0，∴f（x）是增函数；
当x∈（e^1-a，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）是减函数；
∴f（x）在x=e^1-a处取得极大值，f（x）_极大值=f（e^1-a）=e^a-1，无极小值．
（Ⅱ）解：①当e^1-a＜e²，即a＞-1时，
由（Ⅰ）知，f（x）在（0，e^1-a）上是增函数，在（e^1-a，e²）上是减函数，
∴f(x)max=f(e1-a)=ea-1…（7分）
∵若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e²]上有公共点，
∴e^a-1≥1
∴a≥1
∵a＞-1，∴a≥1
②当e^1-a≥e²，即a≤-1时，f（x）在区间（0，e²]上是增函数，
∴f（x）在区间（0，e²]上的最大值为f（e²）=

2+a

e2

∴原问题等价于

2+a

e2

≥1
∴a≥e²-2
∵a≤-1，∴无解
综上，实数a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅲ）证明：令a=1，由（Ⅰ）知，

lnx+1

x

≤1(x＞0)，∴lnx≤x-1，
∵a₁=1，假设ak≥1(k∈N*)，则a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，故an≥1(n∈N*)
从而a_n+1=lna_n+a_n+2≤2a_n+1
∴1+an+1≤2(1+an)≤…≤2n(1+a1)
即1+an≤2n，
∴an≤2n-1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数而得单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查不等式的证明，属于中档题．