Question

如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，

SD垂直于底面ABCD，SB=.
（I）求证BCSC；
（II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.

Answer 1

（I）证明见解析（II）45°（III）90°

[方法一]：（几何法）
（I）证法一：如图1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC.
∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，               
由三垂线定理得BC⊥SC.…………3分
证法二：如图1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC.          
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，                    图1
∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC.…………3分
（II）解法一：∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，
∴可把四棱锥S—ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S—ABCD，
如图2，面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面BCSA₁所成的二面角，
∵SC⊥BC，BC//A₁S，∴SC⊥A₁S，
又SD⊥A₁S，∴∠CSD为所求二面角的平面角.
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角为45°.……………8分
解法二：如图3，过点S作直线在面ASD上，
∵底面ABCD为正方形，在面BSC上，
为面ASD与面BSC的交线.

∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.
在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，在Rt△SDC中，
由勾股定理得SD=1.
∴∠CSD=45°.即面ASD与面BSC所成的二面角
为45°。…8分
（III）解法一：如图3，∵SD=AD=1，∠SDA=90°，∴△SDA是等腰直角三角形.
又M是斜边SA的中点， ∴DM⊥SA. 
∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.
由三垂线定理得DM⊥SB. ∴异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分
解法二：如图4，取AB中点P，连结MP，DP.
在△ABS中，由中位线定理得 MP//SB，是异面直线DM与SB所成的角.
，
又
∴在△DMP中，有DP²=MP²+DM²， 
即异面直线DM与SB所成的角为90°. ……………14分
[方法二]：（向量法）
解析：如图所示，以D为坐标原点建立直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），
M（，0，），
∵　SB=，DB=，SD=1，∴　S（0，0，1），……………2分
（I）证明：∵　，
="0  " ∴　，即BCSC．……………5分
（II）设二面角的平面角为θ，由题意可知平面ASD的一个法向量为，设平面BSC的法向量为，由，
得，
∴　面ASD与面BSC所成的二面角为45°．……………10分
（III）设异面直线DM与SB所成角为α，
∵　，SB=(-1,-1,1),得
∴　异面直线DM与SB所成角为90°．……………14分