Question

已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x²+2x.

（1）求函数g(x)的解析式；

（2）解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|；

（3）若h(x)＝g(x)-λf(x)+1在[-1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围

Answer 1

（1）设函数y＝f(x)的图象上任一点Q(x₀，y₀)关于原点的对称点为P(x，y)，
则 ，即 .
∵点Q(x₀，y₀)在函数y＝f(x)的图象上，
∴－y＝x²－2x，即y＝－x²＋2x，故g(x)＝－x²＋2x

（2）由g(x)≥f(x)－|x－1|可得：2x²－|x－1|≤0.
当x≥1时，2x²－x＋1≤0，此时不等式无解.
当x<1时，2x²＋x－1≤0，∴－1≤x≤.
因此，原不等式的解集为

（3）h(x)＝－(1＋λ)x²＋2(1－λ)x＋1.
①当λ＝－1时，得h(x)＝4x＋1在[－1,1]上是增函数，符合题意，∴λ＝－1.
②当λ≠－1时，抛物线h(x)＝－(1＋λ)x²＋2(1－λ)x＋1的对称轴的方程为x＝.
(ⅰ)当λ<－1，且≤－1时，h(x)在[－1,1]上是增函数，解得λ<－1.
(ⅱ)当λ>－1，且≥1时，h(x)在[－1,1]上是增函数，解得－1<λ≤0.
综上，得λ≤0