Question

在几何体ABCDE中，∠BAC=

π

2

，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1．
（1）设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，求证：l∥平面BCDE；
（2）设F是BC的中点，求证：平面AFD⊥平面AFE；
（3）求几何体ABCDE的体积．

Answer 1

分析：（1）根据DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC判断出DC∥EB，进而利用直线与平面平行的判断定理可知DC∥平面ABE，利用直线与平面平行的性质可推断出DC∥l，进而可推断出l∥平面BCDE．
（2）根据DC⊥平面ABC推断出DC⊥AF，同时利用AB=AC，F是BC的中点推断出AF⊥BC，AF⊥平面BCDE进而利用直线与平面垂直的性质可知AF⊥DF，AF⊥EF进而可推断出∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角，利用勾股定理可推断出FD⊥FE，推断出∠DFE=90°，进而证明出平面AFD⊥平面AFE．
（3）几何体ABCDE的体积，即四棱锥A-BCDE的体积，其底面是一个直角梯形，高为AF，代入体积公式可得答案．

解答：证明：（1）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC
∴DC∥BE，
∴DC∥平面ABE
又l=平面ACD∩平面ABE
∴DC∥l
又l?平面BCDE，DC?平面BCDE
∴l∥平面BCDE．
（2）∵DC⊥平面ABC
∴DC⊥AF
∵AB=AC，F是BC的中点
∴AF⊥BC，AF⊥平面BCDE
∴AF⊥DF，AF⊥EF
∴∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角
在△DEF中，FD=

3

，FE=

6

，DE=3
FD⊥FE，即∠DFE=90°
∴平面AFD⊥平面AFE
（3）几何体ABCDE的体积V=V_A-BCDE=

1

3

•S_BCDE•AF=

1

3

×

1

2

（1+2）×2

2

×

2

=2

点评：本题主要考查了平面与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定等．要求考生对基本定理能熟练掌握．