Question

已知点F₁、F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F₁垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF₂为锐角三角形，则双曲线的离心率e的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先求出A，B两点的纵坐标，由△ABF₂是锐角三角形知，tan∠AF₂F₁=

b2 a

2c

＜1，e²-2e-1＜0，解不等式求出e 的范围．

解答：解：在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)中，
令x=-c 得，y=±

b2

a

，∴A，B两点的纵坐标分别为±

b2

a

．
由△ABF₂是锐角三角形知，∠AF₂F₁＜

π

4

，tan∠AF₂F₁=

b2 a

2c

＜tan

π

4

=1，
∴

c2-a2

2ac

＜1，c²-2ac-a²＜0，e²-2e-1＜0，∴1-

2

＜e＜1+

2

．
又 e＞1，∴1＜e＜1+

2

，
故答案为：（1，1+

2

）．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，判断∠AF₂F₁＜

π

4

，tan

π

4

=

b2 a

2c

＜1，是解题的关键．