【题目】如图,在三棱锥中,是边长为1的正三角形,,.
(1)求证:;
(2)点是棱的中点,点P在底面内的射影为点,证明:平面;
(3)求直线和平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)取中点,连结,,由已知得,,由此能证明平面,从而证明.
(2)可得为等边三角形,由,可得为的中点,即,从而得到平面;
(3)由(1)得平面平面,可得PB在平面面内的摄影为,由(2)得为等边三角形,即可得直线和平面所成角的大小.
(1)取中点,连结,,
是边长为的正三角形,.
,,,平面,
平面,且平面,
.
(2),得,
又,
为等边三角形.
,为的中点,
又点是棱的中点,.
且平面,平面.
平面.
(3)由(1)知平面,而平面,
所以平面平面,
所以在平面内的射影为,
所以为直线和平面所成的角,
由(2)得为等边三角形,
所以.
所以直线和平面所成角的大小为.
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【题目】为了解全市统考情况,从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩,频率分布直方图如下图所示.
(1)求这4000名考生的半均成绩(同一组中数据用该组区间中点作代表);
(2)由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布,其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差,那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少人?
(3)如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况,现从全市考生中随机抽取4名考生,记成绩不超过84.81分的考生人数为,求.(精确到0.001)
附:①;
②,则;
③.
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【题目】某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.
(1)求图中x的值;
(2)求这组数据的中位数;
(3)现从被调查的问卷满意度评分值在[60,80)的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.
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【题目】某城市户居民的月平均用电量(单位:度),以,,,,,,分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为,,,的四组用户中,用分层抽样的方法抽取户居民,则月平均用电量在的用户中应抽取多少户?
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【题目】已知函数,的图象与直线分别交于、两点,则( )
A.的最小值为
B.使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线
C.函数至少存在一个零点
D.使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
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【题目】已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.若过的动直线与曲线相交于两点.
(1)判断曲线的名称并写出它的标准方程;
(2)是否存在与点不同的定点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由。
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