Question

【题目】已知函数 ，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个零点x1 ， x2 ， （x1＜x2），求证：1＜x1＜a＜x2＜a2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，函数的定义域为（0，+∞），

当a≤0时， ， ，

函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），

当a＞0时， ，

若x≥a， ，此时函数f（x）单调递增，

若x＜a， ，此时函数f（x）单调递减，

综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；

当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）

（2）证明：由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，

此时函数至多只有一个零点，不合题意；

则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），

由题意，必须 ，解得a＞1，…10分

由 ，f（a）＜0，

得x1∈（1，a），

而f（a2）=a2﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna），

下面证明：a＞1时，a﹣1﹣lna＞0

设g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞1

则 ，

所以g（x）在x＞1时递增，则g（x）＞g（1）=0，

所以f（a2）=a2﹣a﹣alna=a（a﹣1﹣lna）＞0，

又f（a）＜0，

所以x2∈（a，a2），

综上，1＜x1＜a＜x2＜a2

【解析】（1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，函数至多只有一个零点，不合题意；则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），进一步得出x1∈（1，a）和x2∈（a，a2），从而得出答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．