Question

11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知A为锐角，且sin²A-cos²A=$\frac{1}{2}$，则（　　）

• A． b+c＜2a
• B． b+c≤2a
• C． b+c=2a
• D． b+c≥2a

Answer 1

分析 由条件利用二倍角的余弦函数公式化简，求出cos2A的值，由A为锐角求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入并利用基本不等式得出关系式，即可做出判断．

解答 解：在△ABC中，∵A为锐角，且sin²A-cos²A=-cos2A=$\frac{1}{2}$，∴cos2A=-$\frac{1}{2}$，∴2A=$\frac{2π}{3}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理有a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-$\frac{3}{4}$（b+c）²=$\frac{{（b+c）}^{2}}{4}$，即4a²≥（b+c）²，
解得：2a≥b+c，
故选：B．

点评 此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于中档题．