Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则下列四个命题：
（1）P在直线BC₁上运动时，三棱锥A-D₁PC的体积不变；
（2）P在直线BC₁上运动时，直线AP与A₁D所成的角大小不变；
（3）P在直线BC₁上运动时，直线AP与平面ACD₁所成的角大小不变；
（4）M是平面A₁B₁C₁D₁上到直线A₁D₁与直线CC₁距离相等的点，则M点的轨迹是抛物线．
其中，真命题的序号为

①②

．

Answer 1

分析：由BC₁∥平面AD₁C，知BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离相等，底不变，得到三棱锥A-D₁PC的体积不变；由A₁D⊥平面ABC₁D₁，知直线AP与A₁D所成的角大小不变；通过计算可得直线AP与平面ACD₁所成角的大小在变化；由M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，知M点的轨迹是一条与直线DC₁平行的直线．

解答：解：①∵BC₁∥平面AD₁，
∴BC₁∥上任意一点到平面AD₁C的距离相等，
所以三棱锥A-D₁PC的体积不变，故①正确．
②∵A₁D⊥平面ABC₁D₁，
∴P在直线BC₁上运动时，直线AP与A₁D所成的角大小不变，故②正确；
P在直线BC₁上运动时，直线AB与平面ACD₁所成角和直线AC₁与平面ACD₁所成角不相等，所以不正确．
③在点P从B点向C₁点运动过程中，
直线AP与平面ACD₁所成角的大小从arcsin

3

3

逐渐变为arcsin

1

3

，
越来越小，故③错误；
④∵M是平面A₁B₁C₁D₁上到点D和C₁距离相等的点，
∴M点的轨迹是一条与直线DC₁平行的直线，而DD₁=D₁C₁，故④错误．
综上，①②是正确的
故答案为：．

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了空间直线与平面所成角、平面与平面所成角、体积的计算和距离的计算等知识，属于中档题．