Question

【题目】在直角坐标系中，设点A（-3，0），B（3，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是

（1）试讨论点M的轨迹形状；

（2）当0<b<3时，若点M的轨迹上存在点P（P在x轴的上方），使得∠APB=120°，求b的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）设点，根据条件化简，根据方程形式确定轨迹形状，（2）利用两角和表示∠APB，结合斜率公式已经正切和公式表示b的函数，最后根据点的范围确定b的取值范围.

试题解析：（（Ⅰ）设点，由题意得：

化简得，所以点的轨迹方程为

当时，点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（除去A,B两点）；

当时，点的轨迹是圆（除去A,B两点）；

当时，点的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去A,B两点）

（Ⅱ）方法一：当时，设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，

因为点P在点M的轨迹上，所以

，

∴

因此的取值范围是

方法二：当时，设点P的坐标为，

∴ 以下同方法一