Question

某选修课的考试按A级、B级依次进行，只有当A级成绩合格时，才可继续参加B级的考试．已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书．现某人参加这个选修课的考试，他A级考试成绩合格的概率为，B级考试合格的概率为．假设各级考试成绩合格与否均互不影响．
(1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率；
(2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E．

Answer 1

（1），（2）.

试题分析：（1）解概率问题，关键明确事件所包含的意义. 不需要补考就获得合格证书的事件为A级第一次考试合格且B级第一次考试合格，因为事件相互独立，所以由概率乘法得（2）参加考试的次数至少2次，至多4次，因此＝2，3，4，因为不放弃所有的考试机会，所以＝2包含①A级第一次考试合格且B级第一次考试合格，②A级第一次考试不合格且A级补考不合格。＝4包含A级第一次考试不合格且A级补考合格， B级第一次考试不合格，B级补考合格或不合格. ＝3包含事件较多，可利用求解，最后再利用数学期望公式求E.
试题解析：设“A级第一次考试合格”为事件，“A级补考合格”为事件A2； “B级第一次考试合格”为事件，“B级补考合格”为事件．
（1）不需要补考就获得合格证书的事件为A1·B1，注意到A1与B1相互独立，
则
答：该考生不需要补考就获得合格证书的概率为         4
（2）由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
 .6

    .8

       .10
故
答：该考生参加考试次数的期望为 .13