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在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,已知PA=AD=2AB=4,Q是线段PD上一点,PC⊥AQ.
(1)求证AQ⊥面PCD;
(2)求PC与平面ABQ所成角的正弦值大小.
考点:直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定
专题:空间位置关系与距离,空间角
分析:(1)由已知得PA⊥CD,AD⊥CD,从而CD⊥平面PAD,进而CD⊥AQ,由此能证明AQ⊥面PCD.
 (2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出PC与平面ABQ所成角的正弦值.
解答: (1)证明:∵在四棱锥P-ABCD中,
PA⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,
∴PA⊥CD,AD⊥CD,又PA∩AD=A,
∴CD⊥平面PAD,
又AQ?平面PAD,∴CD⊥AQ,
又PC⊥AQ,PC∩CD=C,
∴AQ⊥面PCD.
 (2)解:如图,以A为坐标原点,
建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),
C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,4).
设Q(0,a,4-a),(0≤a≤4),则
PC
=(2,4,-4)
AQ
=(0,a,4-a),
∵PC⊥AQ,∴
PC
AQ
=4a-16+4a=0
,解得a=2,
设平面ABQ的一个法向量为
n
=(x,y,z)

AQ
n
=2y+2z=0
AB
n
=2x=0
,取z=1,得
n
=(0,-1,1),
设PC与平面ABQ所成角为θ,
则sinθ=|cos<
n
PC
>|=
2
2
3

∴PC与平面ABQ所成角的正弦值为
2
3
2
点评:本题考查直线与平面垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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x2
4
+
y2
3
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sinx,x∈[0,2]
1
2
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有下列说法:
①函数f(x)对任意x1,x2∈[0,+∞),都有|f(x1)-f(x2)|≤2成立
②函数f(x)在[
1
2
(4n-3),
1
2
(4n-1)](n∈N•)上单调递减;
③函数y=f(x)-log2x+1在(0,+∞)上有3个零点;
④当k∈[
8
7
,+∞)时,对任意x>0,不等式f(x)≤
k
x
都成立.
其中正确的说法的个数是(  )
A、4B、3C、2D、1

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x-2
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