Question

2．设a＞0，b＞0，a²+$\frac{{b}^{2}}{2}$=1，则4a•$\sqrt{1{+b}^{2}}$的最大值为（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$
• B． 3$\sqrt{5}$
• C． 6
• D． 没有最大值

Answer 1

分析 可令x=4a•$\sqrt{1{+b}^{2}}$（x＞0），平方后运用基本不等式即可得到最大值．

解答 解：可令x=4a•$\sqrt{1{+b}^{2}}$（x＞0），
由a²+$\frac{{b}^{2}}{2}$=1，即为2a²+b²=2，
则x²=16a²（1+b²）
≤8•（$\frac{2{a}^{2}+1+{b}^{2}}{2}$）²
=8•$\frac{9}{4}$=18．
当且仅当2a²=1+b²，即a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{1}{2}$时，取得最大值，且为18．
则原式的最大值为3$\sqrt{2}$．
故选A．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形，熟记满足的条件：一正二定三等．