Question

【题目】已知圆与轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线上．

（1）求圆的方程；

（2）圆与圆：相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出过点（2,1）与点（﹣2,﹣3）的直线的方程，又由条件得到圆心在直线y=3上，解方程组可得圆心的坐标，进而得到圆的半径，于是可得圆的方程；（2）将圆的方程化为一般式，与圆的方程作差后可得两圆公共弦所在直线的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，进而可得公共弦的长．

（1）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为，

即y=x﹣1．

由题意可得，圆心在直线y=3上，

由，解得圆心坐标为（4，3），

故圆C1的半径为4．

则圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=16；

（2）∵圆C1的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=16，

即x2+y2﹣8x﹣6y+9=0，

圆C2：x2+y2﹣2x+2y﹣9=0，

两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为3x+4y﹣9=0．

圆C1的圆心到直线3x+4y﹣9=0的距离d=．

∴两圆的公共弦MN的长为．