分析:(Ⅰ)设出等比数列{an}的公比为q,根据a3=8,前3项的和S3=14,列出关于首项和公比的方程组,消去首项得到关于q的方程,求出方程的解即可得到q的值,进而求出首项的值,根据首项和公比写出数列{an}的通项公式即可;
(Ⅱ)令n=1代入已知的等式中,由a1的值求出b1的值,然后当n≥2时,已知的等式记作①,把n换为n-1得到另一个等式,记作②,①-②且由(Ⅰ)求出的an的通项公式即可得到bn的通项公式,把b1的值代入也满足,利用bn+1-bn即可求出数列的公差,进而推出数列{bn}是等差数列,得证.
解答:解:(Ⅰ)设等比数列{a
n}的公比为q,
则q>0且
| a1+ a1q+a1q2=14① | a1q2=8 ② |
| |
,
①÷②得:
=
,整理得:3q
2-4q-4=0,
解得:q=-
(舍去),q=2,∵a
1=2,∴a
n=2
n(n∈N
+);
(Ⅱ)当n=1时,
=
,a
1=2,∴b
1=1,
当n≥2时,
+
+…+
=
①,
+
+…+
=
②(n∈N
*),
①-②得:
=
-
=
,又a
n=2
n,
∴b
n=2-n(n≥2),又∵b
1=1=2-1,∴b
n=2-n(n∈N
+),
∵b
n+1-b
n=-1,
∴数列{b
n}是以1为首项,-1为公差的等差数列.
点评:此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握等差数列的确定方法,是一道中档题.学生在第二问中求出bn的通项公式后要注意把b1的值代入进行验证.