Question

已知数列{a_n}是由正数组成的等比数列，a₃=8，前3项的和S₃=14
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知数列{b_n}满足

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=

n

2n

（n∈N^*），证明：{b_n}是等差数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出等比数列{a_n}的公比为q，根据a₃=8，前3项的和S₃=14，列出关于首项和公比的方程组，消去首项得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，进而求出首项的值，根据首项和公比写出数列{a_n}的通项公式即可；
（Ⅱ）令n=1代入已知的等式中，由a₁的值求出b₁的值，然后当n≥2时，已知的等式记作①，把n换为n-1得到另一个等式，记作②，①-②且由（Ⅰ）求出的a_n的通项公式即可得到b_n的通项公式，把b₁的值代入也满足，利用b_n+1-b_n即可求出数列的公差，进而推出数列{b_n}是等差数列，得证．

解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，
则q＞0且

a1+ a1q+a1q2=14①  a1q2=8                 ②

，
①÷②得：

1+q+q2

q2

=

7

4

，整理得：3q²-4q-4=0，
解得：q=-

2

3

（舍去），q=2，∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ（n∈N⁺）；
（Ⅱ）当n=1时，

b1

a1

=

1

2

，a₁=2，∴b₁=1，
当n≥2时，

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=

n

2n

①，

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn-1

an-1

=

n-1

2n-1

②（n∈N^*），
①-②得：

bn

an

=

n

2n

-

n-1

2n-1

=

2-n

2n

，又a_n=2ⁿ，
∴b_n=2-n（n≥2），又∵b₁=1=2-1，∴b_n=2-n（n∈N⁺），
∵b_n+1-b_n=-1，
∴数列{b_n}是以1为首项，-1为公差的等差数列．

点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等差数列的确定方法，是一道中档题．学生在第二问中求出b_n的通项公式后要注意把b₁的值代入进行验证．