Question

已知椭圆C₁：

x2

16

+

y2

12

=1，双曲线C₂与C₁具有相同的焦点，且离心率互为倒数．
①求双曲线C₂的方程；
②圆C：x²+y²=r²（r＞0）与两曲线C₁、C₂交点一共有且仅有四个，求r的取值范围；是否存在r，使得顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形？

Answer 1

分析：①依题意，设双曲线C₂的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由双曲线C₂与C₁具有相同的焦点，且离心率互为倒数，知

c=2 c a =2

，由此可求出双曲线C₂的方程．
②椭圆C₁的顶点为A（±4，0）、B(0，±2

3

)，双曲线C₂的顶点为M（±1，0），椭圆C₁与双曲线C₂的交点为N（±2，±3），|ON|=

13

．所以圆C与两曲线C₁、C₂有且仅有四个交点，再运用曲线的对称性将问题转化从而简化计算．

解答：解：①依题意，设双曲线C₂的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
椭圆C₁的离心率为

2

4

=

1

2

，焦点为F（±2，0），
所以

c=2 c a =2

，
解得a=1，c=2，b=

c2-a2

=

3

．
②椭圆C₁的顶点为A（±4，0）、B(0，±2

3

)，双曲线C₂的顶点为M（±1，0），椭圆C₁与双曲线C₂的交点为N（±2，±3），|ON|=

13

．
所以圆C与两曲线C₁、C₂有且仅有四个交点，
当且仅当1＜r＜2

3

或r=

13

或r＞4．
直线y=±x与椭圆C₁的交点为P(±

4 3

7

，±

4 3

7

)，|OP|=

4 6

7

，
因为2

3

＜

4 6

7

＜4，且

4 6

7

≠

13

，
所以，以O为圆心、|OP|为半径的圆与两曲线C₁、C₂的交点不只四个，不合要求．
直线y=±x与双曲线C₂的交点为Q(±

3

2

，±

3

2

)，|OQ|=

3

，1＜

3

＜2

3

，符合要求，
即r=

3

时，交点有且仅有四个，顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形．

点评：本题是椭圆、双曲线与圆的综合，解题要求先用待定系数法求轨迹方程，再数形结合讨论曲线的几何性质，第②问关键是运用曲线的对称性将问题转化从而简化计算．另外，圆锥曲线的一些数量关系常用向量表示：设椭圆C₁的两个焦点为F₁、F₂，动点P满足

PF1

•

PF2

=

1

4

|

F1F2

•

OP

|2-7，则动点轨迹也是曲线C₂．