【题目】如图,在三棱锥中,平面平面,为等边三角形,,是的中点.
(1)证明:;
(2)若,求二面角平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)取的中点,连接、,证明平面,从而得出;
(2)证明出平面,可得出、、两两垂直,以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,然后计算出平面、的法向量,利用空间向量法求出二面角平面角的余弦值.
(1)证明:取中点,联结、,
为等边三角形,为的中点,.
是的中点,为中点,,,.
,平面,
平面,;
(2)由(1)知,,
平面平面,平面平面,平面,
平面,则、、两两垂直,
以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
则、、、、.
设平面的法向量为,,.
由,得,令,得,,
所以,平面的一个法向量为.
设平面的法向量为,,
由,得,取,得,.
所以,平面的一个法向量为.
则.
结合图形可知,二面角的平面角为锐角,其余弦值为.
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【题目】已知椭圆: 的长轴长为4,左、右顶点分别为,经过点的直线与椭圆相交于不同的两点(不与点重合).
(Ⅰ)当,且直线 轴时, 求四边形的面积;
(Ⅱ)设,直线与直线相交于点,求证:三点共线.
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【题目】将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论
①AC⊥BD;
②△ACD是等边三角形;
③AB与平面BCD成60°的角;
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________
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【题目】在正方体中,点E是棱的中点,点F是线段上的一个动点.有以下三个命题:
①异面直线与所成的角是定值;
②三棱锥的体积是定值;
③直线与平面所成的角是定值.
其中真命题的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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【题目】有下列四个命题:①“若,则,互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若,则有实数解”的逆否命题;④“若,则”的逆否命题.其中真命题为________(填写所有真命题的序号).
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【题目】某家具厂有方木料90,五合板600,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产第张书桌需要方木料O.l,五合板2,生产每个书橱而要方木料0.2,五合板1,出售一张方桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.
(1)如果只安排生产书桌,可获利润多少?
(2)怎样安排生产可使所得利润最大?
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【题目】如图,四棱锥中,底面 ABCD为矩形,侧面为正三角形,且平面平面 E 为 PD 中点,AD=2.
(1)证明平面AEC丄平面PCD;
(2)若二面角的平面角满足,求四棱锥 的体积.
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