Question

（2013•保定一模）选修4一5：不等式选讲
设函数f （x）=|x-a|+3x，其中a≠0．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥3x+2的解集；
（2）若不等式f （x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，函数f （x）=|x-2|+3x，不等式即|x-2|+3x≥3x+2，即|x-2|≥2，由此求得它的解集．
（2）由不等式可得|x-a|≤-3x，即

x≥a x≤ a 4

，或 

x＜a x≤- a 2

．分a大于零和a小于零两种情况，分别求得不等式组的解集，再根据f （x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，求得a的范围．

解答：解：（1）当a=2时，函数f （x）=|x-a|+3x=|x-2|+3x，
不等式f（x））≥3x+2，即|x-2|+3x≥3x+2，即|x-2|≥2，
∴x-2≥2，或 x-2≤-2．即 x≥4，或 x≤0，故f（x））≥3x+2的解集为{x|x≥4，或 x≤0}．
（2）由不等式f （x）≤0，可得|x-a|≤-3x，即

x≥a x≤ a 4

，或 

x＜a x≤- a 2

．
由于a≠0，
①若a＞0，则不等式组的解集为 {x|x≤-

a

2

}．
由f （x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，可得-

a

2

≥-1，求得 0＜a≤2．
②若a＜0，则不等式组的解集为 {x|x≤

a

4

}，
由f （x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，可得

a

4

≥-1，求得-4≤a＜0．
综上可得，a的取值范围为{a|0＜a≤2，或-4≤a＜0 }．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．