(本题满分13分)
设点P是圆x2 +y2 =4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为Po,且.
(Ⅰ)求点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线:y=kx+m(m≠0)与(Ⅰ)中的轨迹C交于不同的两点A,B.
(1)若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列,求实数m的取值范围;
(2)若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q,求证:直线过定点(Q点除外),并求出该定点的坐标.
(Ⅰ).(Ⅱ)(i)
.(ii)直线过定点
.
解析试题分析:(Ⅰ)设点,
,则由题意知
.
由,
,且
,
得.
所以于是
又,所以
.
所以,点M的轨迹C的方程为.……………………(3分)
(Ⅱ)设,
.
联立
得.
所以,,即
. ①
且 ………………………………(5分)
(i)依题意,,即
.
.
,即
.
,
,解得
.
将代入①,得
.
所以,的取值范围是
. ……………………(8分)
(ii)曲线与
轴正半轴的交点为
.
依题意,, 即
.
于是.
,即
,
.
化简,得.
解得,或
,且均满足
.
当时,直线
的方程为
,直线过定点
(舍去);
当时,直线
的方程为
,直线过定点
.
所以,直线过定点. ………………………………(13分)
考点:本题主要考查轨迹方程的求法,直线与椭圆的位置关系。
点评:求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题,本题利用相关点法求轨迹方程,相关点法 根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程.本题较难。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系中,点
与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于
.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线交于点M,N,问:是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)设直线与直线
交于
点.
(1)当直线过
点,且与直线
垂直时,求直线
的方程;
(2)当直线过
点,且坐标原点
到直线
的距离为
时,求直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
(1)焦点在x轴上的椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.
(2)已知双曲线的一条渐近线方程是,并经过点
,求此双曲线的标准方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
( 本小题满分12分)如图所示,已知圆为圆上一动点,点
在
上,点
在
上,且满足
的轨迹为曲线
。
求曲线
的方程;
若过定点F(0,2)的直线交曲线
于不同的两点
(点
在点
之间),且满足
,求
的取值范围。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(12分)已知过点的动直线
与抛物线
相交于
两点,当直线
的斜率是
时,
。
(1)求抛物线的方程;(5分)
(2)设线段的中垂线在
轴上的截距为
,求
的取值范围。(7分)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
(
)的离心率
,直线
与椭圆
交于不同的两点
,以线段
为直径作圆
,圆心为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当圆与
轴相切的时候,求
的值;
(Ⅲ)若为坐标原点,求
面积的最大值。
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