Question

5．已知直线l：x+2y=0，圆C：x²+y²-6x-2y-15=0，直线l被圆所截得的线段长为$4\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据圆的方程找出圆心坐标和半径，过点A作AC⊥弦BD，可得C为BD的中点，根据勾股定理求出BC，即可求出弦长BD的长．

解答 解：过点A作AC⊥弦BD，垂足为C，连接AB，可得C为BD的中点．
由x²+y²-6x-2y-15=0，得（x-3）²+（y-1）²=25．
知圆心A为（3，1），r=5．
由点A（3，1）到直线x+2y=0的距离AC=$\frac{|3+2|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
在直角三角形ABC中，AB=5，AC=$\sqrt{5}$，
根据勾股定理可得BC=$\sqrt{25-5}$=2$\sqrt{5}$，
则弦长BD=2BC=$4\sqrt{5}$．
故答案为：$4\sqrt{5}$．

点评 本题考查学生灵活运用垂径定理解决实际问题的能力，灵活运用点到直线的距离公式及勾股定理化简求值，会利用数形结合的数学思想解决数学问题，是一道综合题．