Question

（2013•绍兴一模）已知A是圆x²+y²=4上的一个动点，过点A作两条直线l₁，l₂，它们与椭圆

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+y2=1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N．
（1）若A（-2，0），求直线l₁，l₂的方程；
（2）①求证：对于圆上的任意点A，都有l₁⊥l₂成立；
     ②求△AMN面积的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设直线方程代入椭圆方程，利用直线与椭圆

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+y2=1都只有一个公共点，求出直线的斜率，即可直线l₁，l₂的方程；
（2）①分类讨论，利用直线斜率的关系，即可证得结论；
②记原点到直线l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂，表示出△AMN面积，从而可求其取值范围．

解答：（1）解：设直线的方程为y=k（x+2），代入椭圆

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+y2=1，消去y，可得（1+3k²）x²+12k²x+12k²-3=0
由△=0，可得k²-1=0
设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，∴k₁=-1，k₂=1
∴直线l₁，l₂的方程分别为y=-x-2，y=x+2；
（2）①证明：当直线l₁，l₂的斜率有一条不存在时，不妨设l₁无斜率
∵l₁与椭圆只有一个公共点，所以其方程为x=±

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当l₁的方程为x=

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时，此时l₁与圆的交点坐标为（

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，±1），所以l₂的方程为y=1（或y=-1），l₁⊥l₂成立，
同理可证，当l₁的方程为x=-

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时，结论成立；
当直线l₁，l₂的斜率都存在时，设点A（m，n），且m²+n²=4
设方程为y=k（x-m）+n，代入椭圆方程，可得（1+3k²）x²+6k（n-km）x+3（n-km）2-3=0
由△=0化简整理得（3-m²）k²+2mnk+1-n²=0
∵m²+n²=4
∴（3-m²）k²+2mnk+m²-3=0
设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，∴k₁k₂=-1，∴l₁⊥l₂成立
综上，对于圆上的任意点A，都有l₁⊥l₂成立；
 ②记原点到直线l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂，
∵d12+d22=4，∴△AMN面积S²=4d12d22=4d12(4-d12)=-4(d12-2)2+16
∵d12∈[1，3]，∴S²∈[12，16]
∴S∈[2

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，4]．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，难度大．