Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°
（I）证明AD⊥平面PAB；
（II）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；
（III）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（I）由题意在△PAD中，利用所给的线段长度计算出AD⊥PA，再利用矩形ABCD及线面垂直的判定定理即可证明线面垂直．
（II）利用条件借助图形，利用异面直线所成角的定义找到共面的两条相交直线，然后结合解三角形有关知识解出即可；
（Ⅲ）过点P做PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD，由题意得求三棱锥的高PH=

3

．可得三棱锥的体积是 2

3

．

解答：解：（Ⅰ）证明：在△PAD中，由题设PA=2，PD=2

2

，
可得PA²+AD²=PD²于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）由题设，BC∥AD，
所以∠PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角．
在△PAB中，由余弦定理得
PB=

PA2+AB2-2PA•AB•cosPAB

=

7

由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=

PB

BC

=

7

2

．
所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan

7

2

．
（Ⅲ）过点P做PH⊥AB于H，
∵平面PAB⊥平面ABCD平面PAB∩平面ABCD=AB
∴PH⊥平面ABCD，
在Rt△PHA中PH=PAsin60°=2×

3

2

=

3

∴Vp-ABCD=

1

3

AB×AD×PH=

1

3

×3×2×

3

=2

3

点评：本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角，以及求三棱锥的体积关键是找到一个高并且简单易求，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力，还考查了利用反三角函数的知识求出角的大小．