Question

15．下列说法中．所有正确的说法个数为（　1　）
①对任意a＞0，函数f（x）=（lnx）²+lnx-a有零点
②函数y=$\frac{x+3}{x-1}$的冬像关于点（-1，1）对称
③函数f（x）=cos2x的图象中，相邻两个对称中心的距离为π
④若函数f（x）=cos2ax的最小正周期是π，则a=1．

Answer 1

分析 ①根据零点的概念和判别式得出结论；
②由函数分离常数得出y=$\frac{x+3}{x-1}$=$\frac{4}{x-1}$+1，根据图象的平移求出对称中心；
③④考查了余弦函数的周期和性质．

解答 解：①△=1+4a＞0，
∴（lnx）²+lnx-a=0有根，
∴函数f（x）=（lnx）²+lnx-a有零点，故正确；
②y=$\frac{x+3}{x-1}$=$\frac{4}{x-1}$+1，
∵y=$\frac{4}{x}$的对称中心为（0，0），图象右移1个单位，上移1个单位得出y=$\frac{x+3}{x-1}$=$\frac{4}{x-1}$+1
的图象，故对称中心为（1，1）故错误；
③由余弦函数性质可知相邻两个对称中心的距离为周期的一半$\frac{π}{2}$，故错误；
④函数f（x）=cos2ax的最小正周期是π，则a=±1，故错误．
故答案为：1．

点评 考查了零点的概念，分离常数法和图象的平移，余弦函数的性质．属于基础题型，应熟练掌握．