Question

已知函数（）．
（Ⅰ）当曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线l：y=-2x+1平行时，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

解：，x＞-1，（2分）
（I）由题意可得，解得a=3，（3分）
因为f（1）=ln2-4，此时在点（1，f（1））处的切线方程为y-（ln2-4）=-2（x-1），
即y=-2x+ln2-2，与直线l：y=-2x+1平行，故所求a的值为3．（4分）
（II）令f'（x）=0，得到，
由可知，即x₁≤0．（5分）
①即时，
所以，，（6分）
故f（x）的单调递减区间为（-1，+∞）．（7分）
②当时，（6分），即-1＜x₁＜0=x₂，
所以，在区间和（0，+∞）上，f′（x）＜0；（8分）
在区间上，f′（x）＞0．（9分）
故f（x）的单调递减区间是和（0，+∞），单调递增区间是．（10分）
③当a≥1时，，
所以，在区间（-1，0）上f'（x）＞0；（11分）
在区间（0，+∞）上f'（x）＜0，（12分）
故f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）．（13分）
综上讨论可得：
当时，函数f（x）的单调递减区间是（-1，+∞）；
当时，函数f（x）的单调递减区间是和（0，+∞），单调递增区间是；
当a≥1时，函数f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）．
分析：（Ⅰ）由题设条件，求出函数的导数，由于曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线l：y=-2x+1平行时，由导数的几何意义建立关于参数a的方程求出其值即可．
（Ⅱ）由函数的导数中存在参数a，它的取值范围对函数的单调性有影响，故要对其进行分类讨论，在确定的范围下求出函数的单调区间．
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，求解本题的重点是理解导数的几何意义以及分类讨论的思想方法，分类讨论的思想在高中数学中用途广泛，其特点是在解题中出现了不确定情况，由分类变不确定为确定．本题运算量较大，思维量也大，易因为马虎或者耐心不够而出错，造成解题失败，做题时要养成好习惯，要严谨，认真．