A. | a>b | B. | a=b | C. | a<b | D. | 不能确定 |
分析 法一、由ab=ba,得$\frac{lna}{a}=\frac{lnb}{b}$,构造函数y=$\frac{lnx}{x}$,求导后利用其单调性分析;
法二由0<a<1,ab=ba,得blogaa=alogab,即 $\frac{b}{a}$=logab,然后利用反证法说明a=b.
解答 解:法一、由ab=ba,得blna=alnb,从而$\frac{lna}{a}=\frac{lnb}{b}$,
考虑函数y=$\frac{lnx}{x}$(x>0),y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$.
∵在(0,1)内f′(x)>0,∴f(x)在(0,1)内是增函数,
由于0<a<1,b>0,∴ab<1,从而ba=ab<1.由ba<1及a>0,
可推出b<1.
由0<a<1,0<b<1,假如a≠b,
则根据f(x)在(0,1)内是增函数,
得f(a)≠f(b),即$\frac{lna}{a}≠\frac{lnb}{b}$,
从而ab≠ba,这与ab=ba矛盾.
∴a=b;
法二、∵0<a<1,ab=ba,
∴blogaa=alogab,即 $\frac{b}{a}$=logab,
假如a<b,则$\frac{b}{a}$>1,
∵a<1,根据对数函数的性质,
得logab<logaa=1,从而 $\frac{b}{a}>lo{g}_{a}b$,这与 $\frac{b}{a}=lo{g}_{a}b$矛盾,
∴a不能小于b
假如a>b,则$\frac{b}{a}$<1,而logab>1,这也与$\frac{b}{a}=lo{g}_{a}b$矛盾.
∴a不能大于b,因此a=b.
故选:B.
点评 本题考查实数的大小比较,考查了利用构造函数法及反证法比较两个实数的大小,是中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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A. | 某班至多有一个男生爱踢足球 | B. | 某班至少有一个男生不爱踢足球 | ||
C. | 某班所有的男生都不爱踢足球 | D. | 某班所有的女生都爱踢足球 |
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A. | [-2,-1] | B. | [-2,1] | C. | [-1,2] | D. | [1,2] |
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A. | p是假命题,¬p:?x0∈(-∞,0),2${\;}^{{x}_{0}}$≤3${\;}^{{x}_{0}}$ | |
B. | p是假命题¬p:?x∈(-∞,0),2x>3x | |
C. | p是真命题¬p:?x0∈(-∞,0),2${\;}^{{x}_{0}}$≤3${\;}^{{x}_{0}}$ | |
D. | p是真命题¬p:?x∈(-∞,0),2x>3x |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\left\{{x|2kπ+\frac{π}{3}≤x≤2kπ+π,k∈Z}\right\}$ | B. | $\left\{{x|2kπ+\frac{π}{3}≤x≤2kπ+\frac{5π}{6},k∈Z}\right\}$ | ||
C. | $\left\{{x|2kπ+\frac{π}{6}≤x≤2kπ+\frac{5π}{6},k∈Z}\right\}$ | D. | $\left\{{x|kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{5π}{6},k∈Z}\right\}$ |
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