Question

1．已知集合M是具有下列性质的函数f（x）的全体：存在实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b对定义域内任意实数x都成立
（1）判断函数${f_1}（x）=x，{f_2}（x）={3^x}$是否属于集合M
（2）若函数$f（x）=\frac{1-tx}{1+x}$具有反函数f^-1（x），是否存在相同的实数对（a，b），使得f（x）与f^-1（x）同时属于集合M？若存在，求出相应的a，b，t；若不存在，说明理由．
（3）若定义域为R的函数f（x）属于集合M，且存在满足有序实数对（0，1）和（1，4）；当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[-2016，2016]时函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据已知中集合M的定义，分别判断两个函数是否满足条件，可得结论；
（2）假定$f（x）=\frac{1-tx}{1+x}$∈M，求出相应的a，b，t值，得到矛盾，可得答案．
（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立；将x用2+x代替，两等式结合得到函数值的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域

解答 解：（1）当f（x）=x时，f（a+x）•f（a-x）=（a+x）•（a-x）=a²-x²，
其值不为常数，
故f₁（x）=x∉M，
当f（x）=3^x时，f（a+x）•f（a-x）=3^a+x•3^a-x=3^2a，
当a=0时，b=1，
故存在实数对（0，1），使得f（0+x）•f（0-x）=1对定义域内任意实数x都成立，
故${f}_{2}（x）={3}^{x}$∈M；
（2）若函数$f（x）=\frac{1-tx}{1+x}$具有反函数f^-1（x），且$f（x）=\frac{1-tx}{1+x}$∈M，
则f（a+x）•f（a-x）=$\frac{1-t（a+x）}{1+（a+x）}$•$\frac{1-t（a-x）}{1+（a-x）}$=$\frac{（1-ta）^{2}-{t}^{2}{x}^{2}}{（1+{a）}^{2}-{x}^{2}}$=b，
则$\left\{\begin{array}{l}b={t}^{2}\\ b=-t\\ b=1\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=1\\ t=-1\end{array}\right.$，
此时f（x）=1（x≠-1），不存在反函数，
故不存在实数对（a，b），使得f（x）与f^-1（x）同时属于集合M．
（3）函数f（x）∈M，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），
于是f（x）•f（-x）=1，f（1+x）•f（1-x）=4，
用x-1f替换f（1+x）•f（1-x）=4中x得：f（x）f（2-x）=4，
当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，f（x）=$\frac{4}{f（2-x）}$∈[2，4]，
∴x∈[0，2]时，f（x）∈[1，4]．
又由f（x）•f（-x）=1得：f（x）=$\frac{1}{f（-x）}$，
故$\frac{1}{f（-x）}$=$\frac{4}{f（2-x）}$，即4f（-x）=f（2-x），
即f（2+x）=4f（x）．（16分）
∴x∈[2，4]时，f（x）∈[4，16]，
x∈[4，8]时，f（x）∈[16，64]，
…
依此类推可知 x∈[2k，2k+2]时，f（x）∈[2^2k，2^2k+2]，
故x∈[2014，2016]时，f（x）∈[2²⁰¹⁴，2²⁰¹⁶]，
综上所述，x∈[0，2016]时，f（x）∈[1，2²⁰¹⁶]，
x∈[-2016，0]时，f（x）=$\frac{1}{f（-x）}$∈[2^-2016，1]，
综上可知当x∈[-2016，2016]时函数f（x）的值域为[2^-2016，2²⁰¹⁶]．

点评 本题考查理解题中的新定义、判断函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系、考查利用归纳的方法得结论．